As tabelas trigonométricas mais fáceis e precisas, criadas mil anos antes de Pitágoras

14/10/2017 às 3:11 | Publicado em Artigos e textos, Zuniversitas | Deixe um comentário
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Impressionante esse artigo. Quanta cultura temos originadas dos povos babilônicos. E quanto já se destruiu do Iraque e redondezas…


As tabelas trigonométricas mais fáceis e precisas, criadas mil anos antes de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos – você ainda se lembra das aulas de matemática da escola?

E o que diria dos senos e cossenos; tangentes e cotangentes; secantes e cossecantes?

E se soubesse que pelo menos mil anos antes que o matemático grego Pitágoras (569-475 a.C.) pensasse nos triângulos e que seu compatriota Hiparco de Nicea (190-120 a.C.) inventasse a trigonometria, os babilônios sabiam fazer o mesmo – e de uma forma menos complicada e ainda mais precisa?

Pois foi exatamente isso que revelaram os pesquisadores Daniel Mansfield e Norman Wildberger, da Escola de Matemática e Estatística da Faculdade de Ciências de Nova Gales do Sul, na Austrália.

Eles descobriram o feito estudando uma tábua de argila quebrada da antiga cidade suméria de Larsa, com escritos cuneiformes que datam dos anos entre 1822 e 1762 a.C., que é conhecida como Plimpton 322.

O objeto foi descoberto no início do século 20 por Edgar Banks, o arqueólogo, acadêmico, diplomata e comerciante de antiguidades que serviu de inspiração para o personagem fictício Indiana Jones.

Tábua misteriosa

“A Plimpton 322 vem desconcertando os matemáticos há mais de 70 anos, desde que nos demos conta de que ela tem um padrão especial de números chamados terna pitagórica”, diz Mansfield.

“O grande mistério, até então, girava em torno de seu propósito: por que os antigos escribas levaram a cabo a complexa tarefa de criar e de classificar os números na tábua.”

“Nossa pesquisa revela que a Plimpton 322 descreve as formas de triângulos retângulos usando uma nova classe de trigonometria. É um trabalho matemático fascinante que demonstra uma genialidade indubitável”, ressalta o matemático.

“A tábua não apenas contém a tabela trigonométrica mais antiga do mundo. Também é a única tabela trigonométrica completamente exata, já que a abordagem babilônica da aritmética e da geometria era muito diferente.”

E talvez o mais empolgante é que esses conhecimentos da Babilônia poderiam melhorar e simplificar aspectos em campos como a topografia e a infografia, além de tornar mais fácil a vida dos estudantes.

Menos complicada, mais exata

Para poder afirmar que algo é melhor do que os gregos deixaram – e que temos usado durante séculos – é preciso fundamentá-lo, por isso comecemos nos valendo de uma imagem que os autores do estudo usaram em seu artigo no site The Conversation.

A conceituação do triângulo retângulo dos babilônios era diferente da dos gregos.

diagramas de triângulos

Image captionA conceitualização do triângulo retângulo dos gregos (esquerda) e dos babilônios (direita)

A trigonometria, como foi ensinada na escola, é um ramo importante da matemática dedicada ao estudo da relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo e uma circunferência.

O problema de misturar triângulos com círculos é que quando se calcula a razão dos dois lados, tudo se complica e as quantidades têm que ser aproximadas.

Enquanto isso, os babilônios não usavam ângulos nem aproximações em sua trigonometria.

Para eles, explica Mansfield, um triângulo retângulo era a metade de um retângulo.

E tinha outra vantagem.

Um sofisticado sistema numérico

Número 60

Direito de imagem ISTO CK Image caption60 é melhor que 10 ou 2?

O sistema dos babilônios era sexagésimo, de base 60, como o que usamos para medir o tempo.

Esse sistema é melhor para fazer cálculos exatos.

“Se você divide uma hora em três, o resultado é exatamente 20 minutos”, ilustra Mansfield. “Se divide um dólar em três, o resultado é 33 centavos, e sobra um”.

O sistema sexagésimo permite fazer muito mais divisões exatas que o decimal.

Uma hora, por exemplo, pode ser dividida exatamente em 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 e 1 minutos.

Um dólar só pode ser dividido exatamente em 50, 25, 20, 10, 2 e 1 centavos.

E se o adotarmos?

Daniel Mansfield

Direito de imagemUNSW/ANDREW KELLYImage captionDaniel Mansfield com a tábua babilônia Plimpton 322, que está na Biblioteca da Universidade de Colúmbia, em Nova York

É curioso que nossa tendência parece ir na direção contrária: quando chegaram os computadores, escolhemos um sistema simples, o binário.

Com apenas 1 e 0, conseguimos façanhas que há umas décadas eram ficção científica.

No entanto, a simplificação tem preço. Quando se trata de projetos que requerem muitas medidas e cálculos, o sistema te obriga a usar números irracionais, sacrificando a exatidão.

“Se os computadores pudessem ser programados para trabalhar na base 60, seriam mais precisos e menos caros”, destaca Mansfield.

Na computação, gasta-se muita energia calculando números inexatos e quando se fazem aproximações, cometem-se mais erros.

Além disso, os estudantes talvez entendessem mais facilmente o método de medição geométrica dos babilônios.

Sem senos e cossenos?

Ruínas babilônias parcialmente restauradas em Hilah, no Iraque

Direito de imagemISTOCKImage captionAinda há muito o que descobrir da antiga civilização babilônia

Sem números irracionais, sem ângulos, sem senos, cossenos, tangentes nem aproximações, a trigonometria babilônia era mais precisa.

No entanto, ficou esquecida.

Talvez isso tenha ocorrido porque a trigonometria grega seja mais apropriada para os cálculos astronômicos, destaca Mansfield e Wildberger. Mas ainda é um mistério saber ao certo por que o sistema não seguiu sendo usado.

“Estamos apenas começando a entender esta antiga civilização, que seguramente tem muitos outros segredos por descobrir.”

FONTE: http://www.bbc.com/portuguese/geral-41072079

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A curiosa origem dos símbolos matemáticos +, – e =

14/08/2017 às 3:20 | Publicado em Artigos e textos, Zuniversitas | Deixe um comentário
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Interessante a história dos símbolos matemáticos +, – e =


A curiosa origem dos símbolos matemáticos +, – e =

Livro de exercícios matemáticos

De onde surgiram os sinais que todos hoje conhecemos?

Vamos brincar.

1. Escolha um número de quatro dígitos em que pelo menos dois sejam distintos (zeros também podem ser usados).

2. Organize-o em forma ascendente e depois em ordem decrescente.

3. Subtraia o número menor do número maior.

4. Repita.

No máximo em sete operações, sempre se chegará ao número 6174, um processo conhecido como constante de Kaprekar – homenagem a seu descobridor, o matemático indiano Dattathreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986).

Use, por exemplo, a combinação 1234.

4321 – 1234 = 3087; então, 8730 – 0378 = 8352; e agora, 8532 – 2358 = 6174.

Mesmo o próprio número 6174 não foge à regra.

7641 – 1467 = 6174.

Interessante, mas provavelmente o que as pessoas menos pensam é nos símbolos matemáticos usados, “-” ou “=”.

Junto ao de adição (“+”), eles têm uma história interessante.

Nascido do aborrecimento

O símbolo que utilizamos para revelar um resultado foi criado há 460 anos, por um galês do século 16 que aos 14 anos já estudava na Universidade de Oxford e, aos 21, ensinava matemática enquanto estudava medicina.

Robert Recorde morreu aos 48 anos, na prisão.

Este gênio, apesar do final trágico, escreveu vários livros sobre astronomia, geometria e aritmética. E em inglês, ao contrário do costume da época de escrever em latim e permitir que apenas gente mais educada pudesse lê-los.

Recorde escrevia para o público mais comum, e seu último livro, A Pedra de Afiar,publicado em 1557, um ano antes de sua morte, deu ao mundo o símbolo de igual.

Robert Recorde

Recorde escrevia em inglês, em vez do latim, praxe no mundo acadêmico

Recorde em algum momento deixou a medicina, depois de trabalhar para a família real inglesa, cuidando do rei Eduardo 6º e da rainha Mary, a quem dedicou alguns de seus livros, e trabalhou como supervisor da Cada da Moeda.

Aborrecia-se quando precisava escrever por extenso que um lado da equação era igual ao outro. Decidiu usar um símbolo: um par de paralelas.

O motivo? “Não há outras coisas no mundo que possam ser mais iguais.”

Texto do livro de Record

Recorde explica, em livro publicado no século 16 (e em uma forma arcaica do inglês), a criação do “=”

Briga

Além de inventar o símbolo de igual, o galês introduziu no mundo anglófono o uso de “+” e “-“. Mas o latim continuou dominando a literatura, mesmo com o “=” apresentando mais simplicidade que a palavra aequalis.

Atualmente, seu uso é universal.

Mas porque alguém com tantas contribuições positivas terminou sua vida atrás das grades? Bem, apesar de um gênio, Recorde ignorou uma regra básica de sua época: aristocratas sempre riam por último.

Ele perdeu o emprego na Casa da Moeda por decisão de um nobre, o conde de Pembroke. Devidiu processá-lo por conduta indevida. O conde respondeu com um processo por calúnia e difamação.

A Justiça deu ganho de causa a Pembroke.

Uma história nem mais nem menos interessante

A história dos símbolos “+” e “-” também é curiosa.

E talvez seja bom começar a contá-la com um exemplo prático: o Papiro de Ahmes, do ano 1550 a.C., que contém vários exercícios matemáticos. Neles, um par de pernas caminhando para a frente indica uma soma, e uma par caminhando para trás, uma subtração.

Papiro de Ahmes

O Papiro de Ahmes, de 1500 a.C. tinha símbolos simétricos para somas e subtrações

Os gregos, por sua vez, esporadicamente usavam o símbolo “/” para somar, mas normalmente expressavam a adição por meio da justaposição.

Na Europa do século 15, matemáticos como o francês Nicolas Chuquet e o italiano Luca Pacioli usavam “p” (plus) para somas e “m” (minus) para subtrações.

Mas, em um documento do século 14, o filósofo e astrônomo francês Nicole d’Oresme já havia usado “+” como abreviação da partícula aditiva et (e, em latim).

A origem do “-“, porém, não é tão clara.

Sabe-se que aparece em um manuscrito alemão de 1481, encontrado na Biblioteca de Dresden. E em um manuscrito em latim do mesmo período há tanto o “+” como o “-“. Ambos são usados pelo autor Johannes Widman, que usa os símbolos como se fossem conhecidos.

Foi em seu livro Aritmética Mercantil, publicado em 1489, que os símbolos de mais e menos que hoje conhecemos aparecem pela primeira vez em uma obra.

'Aritmética Mercantil', livro de 1489

Página de ‘Aritmética Mercantil’

 

FONTE: http://www.bbc.com/portuguese/geral-40669619?ocid=socialflow_twitter

O mapa da Matemática e sua epifania

26/04/2017 às 3:42 | Publicado em Artigos e textos, Midiateca, Zuniversitas | Deixe um comentário
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Essa era uma questão que sempre procurava explorar com meus alunos: Matemática Pura x Matemática Aplicada. Se tivesse os recursos de hoje seria bem mais fácil ensinar…


 

Este mapa alucinante explica como tudo na matemática está conectado

 

Se você não cursou matemática na universidade, provavelmente só tem uma vaga lembrança de coisas como geometria, álgebra e um cara chamado Isósceles.

Logo, você também provavelmente tem dificuldade em entender como coisas como a teoria do caos e a geometria fractal se relacionam com aprendizagem de máquina e todos aqueles números primos loucos.

Mas pode acreditar: tudo na matemática está conectado. É o que nos mostrou Dominic Walliman, um YouTuber que manja muito de fazer mapas incríveis.

Mapa da Matemática

Para navegar no complexo Mapa da Matemática acima, o melhor lugar para se começar é no meio, onde um círculo marrom representa as origens (“Origins”) do interesse humano em como os números explicam nosso universo.

Em seguida, há duas seções principais que representam os dois principais campos da matemática hoje – Matemática Pura (uma apreciação da linguagem dos números em si) e Matemática Aplicada (como essa linguagem pode ser usada para resolver problemas do mundo real).

Você pode fazer o download de uma versão de alta resolução aqui, na qual você pode dar zoom.

Entendendo o mapa

Infelizmente, só existe a versão em inglês do mapa. Igualmente, para melhor compreendê-lo, o ideal é assistir ao vídeo feito por Walliman, também em inglês. É possível ativar a legenda, sem tradução – mas já ajuda não precisar apenas escutar, mas poder ler o que o YouTuber está dizendo.

Walliman explica cada seção que aparece no mapa. No geral, ele mostra como vários campos da matemática, incluindo topologia, análise complexa e geometria diferencial, estão descrevendo as formas de tudo em nosso universo, e como vários fenômenos no tempo e no espaço podem ser explicados por coisas como o cálculo e a teoria do caos.

Você também vai aprender que disciplinas como física, química, biologia, engenharia, economia, criptografia, ciência da computação e muitas outras simplesmente não existiriam se os nossos antepassados não lançassem os fundamentos do estudo dos números anos atrás.

Caso você seja avançado em assuntos matemáticos, não se preocupe: o mapa cobre também o maior mistério de toda a ciência, ou seja, por que ainda não conseguimos encontrar um conjunto completo de regras fundamentais, os axiomas, comprovadamente consistentes em todos os pequenos recantos do universo matemático.

FONTE: http://hypescience.com/este-mapa-alucinante-explica-como-tudo-na-matematica-esta-conectado/

Quatro mulheres de destaque na matemática que você precisa conhecer

15/03/2017 às 3:47 | Publicado em Artigos e textos | Deixe um comentário
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Ainda sob os “ecos” do Dia Internacional da Mulher, compartilho agora com esse post a biografia de quatro mulheres negras que são destaques na Matemática.


Quatro mulheres de destaque na matemática que você precisa conhecer

Os corredores da história da matemática e da ciência estão lotados de conquistas de homens brancos, de Sir Isaac Newton a Steve Jobs; seus rostos, impressos em livros escolares em todos os cantos do mundo, e suas conquistas foram indelevelmente colocadas em nossas mentes, com incontáveis prêmios e instituições batizadas com seus nomes. Ser brilhante é um dom, mas o processo que leva alguém a ser lembrado como tal envolve privilégio.

Como nota o recentemente indicado ao Oscar Estrelas Além do Tempo, muitas das “figuras escondidas” da matemática são mulheres negras, seja por terem ajudado os Estados Unidos a colocar o primeiro homem no espaço ou por estarem estudando o poder fantástico da matéria negra. Embora seja incrível (e importante) ver mulheres negras matemáticas devidamente celebradas, é desconcertante que tenha demorado até 2017 para que elas recebessem o reconhecimento nacional (e mundial) que umblockbuster traz. É especialmente desanimador que quase 60 anos depois (de quando se passa a história do filme), as mulheres negras ainda sejam tão sub-representadas na ciência.

Há tantas figuras escondidas entre nós cotidianamente, e deveríamos celebrá-las agora, não em 20 ou 30 anos. À luz do Dia Internacional da Mulher, reunimos algumas mulheres negras incríveis que estão mudando a matemática e tornando nosso mundo melhor.

Chanda Prescod-Weinstein

chanda

A Dra. Prescod-Weinstein é uma astrofísica e autoproclamada “questionadora de áxion” na Universidade de Washington, em Seattle. Embora atualmente ela estude candidatos a matéria negra, suas paixões por matemática e pelo espaço começaram cedo.

“Quando eu tinha dez anos, minha mãe me levou para ver um documentário sobre Stephen Hawking, A Brief History of Time, do Errol Morris”, contou Prescod-Weinstein ao Gizmodo. “Fui fisgada na parte em que eles falaram sobre as singularidades dos buracos negros!”

Além de investigar cosmologia, Prescod-Weinstein é uma defensora franca de mulheres negras e pessoas não-binárias nas áreas de STEM (Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática), especialmente de ciências matemáticas. Ela mantém uma lista de leituras científicas “descolonizadoras” que deveria ser obrigatória para qualquer um interessado em justiça social e ciência. Dá uma olhada na entrevista que Prescod-Weinstein nos concedeu sobre ser uma mulher negra na física hoje em dia e por que Estrelas Além do Tempo é muito mais do que uma lição de história.

Chelsea Walton

chelsea

A Dra. Walton, professora-assistente do departamento de matemática da Temple University, é certificadamente um gênio da álgebra.

“Sou originalmente de Detroit, Michigan, e foi um ótimo lugar para ser criada”, contou para o Mathematically Gifted and Black. “Detroit é uma cidade operária, e se tem uma habilidade que aprendi de lá foi como ser engenhosa. Quando criança, eu amava matemática, estava sempre contando objetos, encontrando padrões, e enigmas lógicos eram muito divertidos para mim. E Donald no País da Matemágica… impressionante!”

Durante seus dois últimos anos de ensino médio, Walton começou a procurar maneiras de se tornar professora de matemática. Com o encorajamento de alguns de seus professores, ela seguiu em frente.

“Em geral, minha pesquisa está na área da álgebra não comutativa, que envolve estudar estruturas algébricas que tenham multiplicação não comutativa (onde X vezes Y não necessariamente seja igual a Y vezes C)”, Walton contou ao Gizmodo. “Alguns exemplos de tais estruturas são as funções, uma vez que executar duas funções seguidamente pode gerar resultados diferentes se forem feitas em ordens diferentes (tente lavar e secar suas roupas em uma ordem diferente!).”

Em 21 de fevereiro, Walton foi nomeada fellow da Sloan Foundation, que premia cientistas excepcionais em início de carreira. É uma posição altamente prestigiosa, considerando que 16 beneficiários dela posteriormente venceram a Medalha Fields em matemática. Mas, para Walton, a matemática não se trata de premiações e não é apenas um emprego, é pessoal.

“Eu amo matemática, porque passo maior parte do dia tentando inventar e comunicar (novas) verdades”, disse.

Talithia Williams

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A Dra. Talithia Williams é uma perita em estatística e professora do departamento de matemática da Harvey Mudd College. Ela também teve nomeações de pesquisas no Jet Propulsion Laboratory, na National Security Agency (NSA) e na NASA.

“No primeiro ano do ensino médio, consegui um trabalho como caixa na mercearia local. Foi na época em que os caixas eram mais básicos, e frequentemente eu fazia as contas de cabeça para calcular o troco do cliente. Eu tentava ser mais rápida que a caixa registradora para chegar à quantidade correta. Acho que foi aí que fazer contas de cabeça ficou mais fácil para mim, permitindo que eu me saísse melhor nas aulas de matemática”, contou Williams ao Gizmodo, quando perguntada sobre como ela começou a se interessar pela disciplina.

Williams talvez seja mais conhecida por um TED Talk de 2014, sobre como acompanhar os dados de nossos próprios corpos, que teve mais de 1,2 milhão de visualizações. Sua palestra esclarecedora e divertida discutia como a coleta de dados sobre as funções básicas de nosso corpo, como o sono, o ciclo menstrual e a frequência cardíaca, poderia beneficiar nossa saúde.

“Ao tomar controle de seus dados, tomando medidas diárias sobre si próprio, você se torna um especialista no seu corpo”, disse Williams em seu TED Talk. “Você pode se tornar a autoridade.”

Em 2014, a Dra. Williams se tornou a primeira mulher negra a se tornar professora titular na Harvey Mudd College.

Christina Eubanks-Turner

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Turner é professora-assistente de matemática na Loyola Marymount University, em Los Angeles, Texas. Além de sua carreira como educadora, ela é apaixonada por sua pesquisa em álgebra comutativa. Desde 2012, já publicou dez estudos acadêmicos sobre matemática e educação STEM.

“Eu me animei com matemática pela primeira vez quando eu estava na quarta ou quinta série, mas eu não sabia que estava animada por causa da matemática”, Eubanks-Turner contou ao Gizmodo. “Em minhas aulas, meu professor deixava eu trabalhar em enigmas, particularmente os lógicos, em que você recebe dicas e precisa desvendar quem fez o quê. Hoje, sei que essa base em lógica é o que eu curto na matemática teórica com que trabalho.”

Em junho de 2008, Eubanks-Turner foi nomeada Project NExT Fellow pela Mathematical Association of America (MAA), sociedade profissional dedicada à matemática acessível ao nível de graduação. No ano seguinte, a MAA mais uma vez a homenageou, com o título de LA/MS Section Next Fellow. Então, em 2012, ela recebeu uma bolsa de pesquisa de mais de US$ 2 milhões da Fundação Nacional da Ciência dos Estados Unidos. Eubanks-Turner é membro da Association for Women in Mathematics (AWM), que defende a igualdade de gênero na comunidade matemática.

***

Embora o interesse geral em STEM (Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática) tenha crescido nas últimas décadas, as ciências matemáticas têm tido dificuldades de se tornar mais inclusivas, particularmente para mulheres de cor. De acordo com um censo de 2011, “26% dos trabalhadores de STEM eram mulheres, e 74%, homens”. Esse número é ainda menor para mulheres negras no campo de STEM, muito superadas em número por suas colegas brancas.

As mulheres brilhantes apresentadas aqui são uma amostra pequena mas saliente daquelas que terão um caminho pela frente por mais igualdade em seus campos. Com sorte, não precisaremos de mais meio século para que elas sejam estrelas de seus próprios filmes indicados ao Oscar.

Por: Rae Paoletta (8 de março de 2017)

FONTE: http://m.gizmodo.uol.com.br/mulheres-matematicas-destaque/

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